Saltar al contenido

Mètode de Montecarlo.

3 julio, 2018

El mètode Montecarlo és un mètode numèric que permet que Resoldre problemes Físics i matemàtics mitjançant la simulació de variables aleatòries. El considerarem aquí des d’un punt de vista didàctic per resoldre un problema del que coneixem Tant super solució analítica com numèrica. El mètode Montecarlo SER batejat així per super clara analogia amb els jocs de ruleta dels casinos, el més cèlebre dels quals és el de Montecarlo, casino la construcció SER Proposta 1856 pel príncep Carles III de Mònaco, siéndo inauguració 1861.

La importància actual del mètode Montecarlo es basa en l’existència de problemes que tenen difícil solució por Mètodes exclusivament analítics o numèrics, però que depenen de factors aleatoris o es puc associar a un model probabilística artificial (resolución d’integrals de Moltes variables, minimització de funcions , etc.). Gràcies a l’avenç en disseny dels ordinadors, Càlculs Montecarlo que en altre temps haguessin Estat inconcebibles, avui dia es presenten com assequibles per a la resolución de certs problemes. En aquests Mètodes l’error ~ 1 / √n, on N és el nombre de proves i, per tan, guanyar una xifra decimal en la precisió implica augmentar N en 100 vegades. La base és la generació de nombres aleatoris dels que ens servirem per calcular Probabilitat. Aconseguir un bon generador d’aquests nombres així com un conjunt estadístic adequada sobre el que Treballar són les primeres dificultats amb la ens anem a trobades a l’hora d’utilitzar aquest mètode. En el cas que presentem Hem Fet ús de la funció random () inclosa en la classe Math que la màquina virtual Java traç per defecte com a generador. Les Proves realitzades, algunes de les quals es proposaran com Exercici, verifiquen super qualitat a l’hora de calcular nombres aleatoris sense tendència aparent a la repetició ordenada.

Per resoldre l’equació el·líptica de El nostre problema Uzan el mètode de Montecarlo, s’ha dividit el Recinte bidimensional en una malla quadrada de punts. Tots els Situats en super frontera es consideren inicialitzats a un valor de temperatura conegut. Suposem en principi una partícula situada en un dels punts i que Té la POSSIBILITAT de moure lliurement per tots els que constituent la malla. L’única condició que imposem és que en un sol salt, super moviment es limiti als 4 nodes veïns, els Situats sumi esquerra, dreta, arriba o avall. La Probabilitat d’escollir una qualsevol de les 4 direccions possibles és la MATEIXA. Deixant a la partícula viatjar per tota la xarxa sense més restriccions comptem el nombre de vegades que, partint d’un Mateix punt de coordenades (i, j) surt per cada un dels que constituent la frontera, moment en el qual suposem que ha acabat super viatge. Considerant un nombre elevació de Proves, els doctors  Podem calcular la probabilitat que, partint d’un Mateix punt, surti per cada un dels punts del contorn despés de recórrer una trajectòria aleatòria. Els detalls de camí Seguit des de l’inici fins al final del viatge no ens importen, tan sols ens anem a Fixar en el nombre de vegades que surt del recinte per cada un dels punts possibles.

La temperatura a la qual es troba el punt des d’on ha partit la partícula és la suma, estesa a tots els punts frontera (if, jf), de la temperatura d’aquests punts (determinada per les condicions de contorn) i per la Probabilitat de que Estant a (i, j) surti por (if, jf). Veure ec. (6).

Si prenem una malla petita de 10×10 (excepte Consideracions de simetria) cal calcular Probabilitat per 102 punts. Una precisió RAONABLE requerim que per a cadascun d’ells cal calcular ~ 106 trajectòries aleatòries. Amb Només aquestes estimacions Podem aventurar que el temps de computació requerit per solucionar l’equació de Laplace en una malla petita va ser superior al necessari en qualsevol dels altres Mètodes proposats.

Executant nostra aplicación veurem com aquest temps creix ràpidament amb el nombre de punts de la malla siéndo aquest el factor limitant de l’eficàcia del mètode. No obstant això, el mètode Montecarlo es senzill i fàcil de programar.